【原创】Matlab中几个数值积分函数的比较和优缺点

dynamic

具体参数的意义我这里不详细说明，大家可以看帮助系统，我们这里只是讨论各大函数的区别比较和注意

一、Z = trapz(X,Y,dim)
梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分

例1 计算int(sin(x),0,pi)

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3. >>x=0:pi/100:2*pi;
   
4. >>y=sin(x);
   
5. >>z=trapz(x,y)%或者说使用z = pi/100*trapz(y)
   
6. z =
   
7. 
   
8.   1.0300e-017
   
9. 
   
10. >>z = pi/100*trapz(y)

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二、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分

注意事项：
1.被积函数fun必须是函数句柄
2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf
3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值

可能警告：
1.'Minimum step size reached'
意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点
2.'Maximum function count exceeded'
意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

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3. >>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);
   
4. >>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用 quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套
   
5. 
   
6. Q =
   
7. 
   
8.    -0.4605
   
9. 
   
10. >>quad(F,0,2,[],[],5)
    
11. 
    
12. ans =
    
13. 
    
14.    -0.4605

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三、[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分

注意事项：
同quad

可能警告：
同quad

例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

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3. >>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);
   
4. >>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q = quadl(@(x)F(x,5),0,2)
   
5. 
   
6. Q =
   
7. 
   
8.    -0.4605

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四、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)
自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法

注意事项：
1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减
2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上
3.被积函数可以剧烈震荡
4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调
5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接
6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助

出现错误：
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

例4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)

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3. >>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分
   
4. >>Q = quadgk(F,0,1)
   
5. 
   
6. Q =
   
7. 
   
8.    -1.3179

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例5  计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)

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3. >>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
   
4. >>fplot(F,[0,100])%绘图，看看函数的图形
   
5. >>[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%积分限中可以有inf，但必须快速收敛
   
6. 
   
7. q =
   
8. 
   
9.   -15.0000
   
10. 
    
11. 
    
12. errbnd =
    
13. 
    
14.   9.4386e-009

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例6 计算不连续积分，积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人为定义f(2)=1000，f(5)=-100，积分区间为[1 10]

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3. >>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
   
4. >>[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%显然2，5为间断点
   
5. 
   
6. q =
   
7. 
   
8.   -10.9408
   
9. 
   
10. 
    
11. errbnd =
    
12. 
    
13.   3.2296e-014

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例7 计算围道积分，在复数域内，积分函数1/(2*z-1)，积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i]围成的矩形边框

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3. >>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i];
   
4. >>plot(Waypoints);%绘制积分路径
   
5. >>xlabel('Real axis');ylabel('Image axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;
   
6. >>Q = quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各点间使用直线连接
   
7. 
   
8. ans =
   
9. 
   
10.    0.0000 + 3.1416i
    
11. 
    
12. >> quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用这个的效果也是一样的，就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints中
    
13. 
    
14. ans =
    
15. 
    
16.    0.0000 + 3.1416i

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五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分

注意事项：
1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分
2.所有的要求完全与quad相同

例8 计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]

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3. >>for k = 1:5,        Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs
   
4. 
   
5. Qs =
   
6. 
   
7.     0.6931    0.4055    0.2877    0.2231    0.1823
   
8. 
   
9. >>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定义被积函数
   
10. >>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者
    
11. 
    
12. ans =
    
13. 
    
14.     0.6931    0.4055    0.2877    0.2231    0.1823

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六、q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
矩形区域二重数值积分，一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)的quad2dggen函数

例9 计算下面二重积分

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3. >>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);
   
4. >Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)
   
5. 
   
6. Q =
   
7. 
   
8.    -9.8696

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七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
长方体区域三重数值积分，注意此时没有一般区域的三重积分

例10 计算下面三重积分

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3. >>F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);
   
4. >>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)
   
5. 
   
6. Q =
   
7. 
   
8.     2.0000

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八、超维长方体区域多重积分
quadndg：NIT工具箱函数，可以解决多重超维长方体边界的定积分问题，但没有现成的一般积分区域求解函数


下面总结下：
(1)quad：采用自适应变步长simpson方法，速度和精度都是最差的，建议不要使用
(2)quad8：使用8阶Newton-Cotes算法，精度和速度均优于quad，但在目前版本下已被取消
(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均较好，建议全部使用该函数
(4)quadg：NIT(数值积分)工具箱函数，效率最高，但该工具箱需要另外下载
(5)quadv：quad的矢量化函数，可以同时计算多个积分
(6)quadgk：很有用的函数，功能在Matlab中最强大
(7)quad2dggen：一般区域二重积分，效率很好，需要NIT支持
(8)dblquad：长方形区域二重积分
(9)triplequadL：长方体区域三重积分
(10)quadndg：超维长方体区域积分，需要NIT支持

NIT数值积分工具箱下载参见这里http://www.matlabsky.com/thread-225-1-2.html

zengqing0419

我有一个函数是这样的  (exp((-1/2)*((x-x0)/a).^2+(y-y0)/b).^2+(z-z0)/c).^2))/(((x1-x).^2+((y1-y).^2+((z1-z).^2) .^3/2)即分子是正态分布的函数 分母是三维空间的两点的距离的三次方 怎么求积分啊？
syms a;
syms x y z 是积分的dx dy dz 中的x y z
syms x0 y0 z0
syms x1;
syms y1
syms z1
可以看做变量符号
难死我了

dynamic

具体求助的问题

请重新发帖，否则大家很难知道你是在求助，和你的问题

star19831106

校长很牛X！
呵呵！！！

aiyou522

太感谢啊   十分的 感谢啊

yiyeguzhou206

十分感谢校长大人的热情和无私，让我学到了很多东西

qiuyue

学习！谢谢哦。。。。

dpw2009

那请问校长，如果积分式中含有其它字母，请问如何处理？

apsapsap

很牛，写得很好。                 
学习了。

linkray190

非常有用 谢谢整理分享