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[源码] 原创2:矩阵方程求解

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发表于 2012-11-29 08:00:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 xue_dy 于 2012-11-29 21:52 编辑

维护的著作课件网页
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http://www.matlabsky.com/thread-31565-1-1.html
http://www.matlabsky.com/thread-31597-1-1.html

原创程序:矩阵方程的求解

如果使用,请引用 薛定宇《控制系统计算机辅助设计——MATLAB语言与应用》(第三版),清华大学出版社,2012。谢绝将此程序用于公开出版物中并署上你自己的名字。

在使用此函数之前可以考虑下面的问题

(1) Riccati方程

应该如何求解?MATLAB的are函数只能求出方程的一个解,其他的解哪?有多少解?怎么求?

(2) Riccati方程变形后,怎么求出它们所有的解?


(3) 由下面的联立方程图解法可见,该方程有很多实根,如何把这些实根都求出来?


为解决上述问题我编写了下述函数
  1.    function more_sols(f,X0,A,tol,tlim)
  2.    if nargin<=4, tlim=60; end
  3.    if nargin<=3, tol=eps; end
  4.    if nargin<=2, A=1000; end
  5.    ff=optimset; ff.Display='off'; ff1=ff; M=0;
  6.    ff.TolX=tol; ff.TolFun=tol; X=X0; [n,m,i]=size(X0); tic
  7.    while (1), assignin('base','M',M)
  8.       x0=A*(-0.5+rand(n,m)); [x,a,key]=fsolve(f,x0,ff1); M=M+1;
  9.       t=toc; if t>tlim, break; end
  10.       if key>0, N=size(X,3);
  11.          for j=1:N, if norm(X(:,:,j)-x)<1e-5; key=0; break; end, end
  12.          if key>0, [x1,a,key]=fsolve(f,x,ff);
  13.             if norm(x-x1)<1e-5 & key>0;
  14.                i=i+1, X(:,:,i)=x1; assignin('base','X',X); tic
  15.    end, end, end, end
复制代码
实例1:求解Riccati方程

其中

求解:该方程共有8个根,大范围求解,采用默认的A
  1.    >> A=[-2,1,-3; -1,0,-2; 0,-1,-2]; B=[2,2,-2; -1 5 -2; -1 1 2];
  2.       C=[5 -4 4; 1 0 4; 1 -1 5]; f=@(X)A'*X+X*A-X*B*X+C;
  3.       more_sols(f,zeros(3,3,0)); X, err
复制代码
实例2:求解下面方程


求解:该方程共有16个根
  1.    >> A=[2 1 9; 9 7 9; 6 5 3]; B=[0 3 6; 8 2 0; 8 2 8];
  2.       C=[7 0 3; 5 6 4; 1 4 4]; D=[3 9 5; 1 2 9; 3 3 0];
  3.       f=@(X)A*X+X*D-X*B*X.'+C; more_sols(f,zeros(3,3,0)); X, err
复制代码
实例3:非线性联立方程组

求解:从A点(0,0)出发出发求解,感兴趣区域(-2pi,2pi),故取A=13
  1.    >> f=@(x)[x(1)^2*exp(-x(1)*x(2)^2/2)+exp(-x(1)/2)*sin(x(1)*x(2));
  2.              x(2)^2*cos(x(2)+x(1)^2)+x(1)^2*exp(x(1)+x(2))];
  3.       more_sols(f,[0; 0],13)
  4.    >> ezplot('x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)=0')
  5.       hold on; ezplot('y^2*cos(y+x^2)+x^2*exp(x+y)=0')
  6.       err, x=X(1,1,:); x=x(:); y=X(2,1,:); y=y(:); plot(x,y,'o')
复制代码
习题:前几天有朋友贴了一个多解的方程,试用more_sols函数求出该函数在(-2pi,2pi)内的所有数值解,并绘图检验解的正确性。
sin(x+y)=0, cos(x-y)=0

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发表于 2012-11-29 12:30:42 | 显示全部楼层
呀老师写了那么多原创帖子啊,都不错的,谢谢,顶起,
发表于 2012-11-29 16:46:53 | 显示全部楼层
谢谢老师 好帖
发表于 2012-11-29 19:14:48 | 显示全部楼层
感谢薛老师哈
发表于 2012-11-30 08:40:57 | 显示全部楼层
薛定宇好像很牛的,学习了。
发表于 2012-11-30 12:52:32 | 显示全部楼层
发表于 2012-11-30 22:19:26 | 显示全部楼层
老师辛苦了!
发表于 2012-11-30 23:26:41 | 显示全部楼层
发表于 2012-12-3 08:51:36 | 显示全部楼层
很有用处,谢谢薛老师
发表于 2012-12-3 12:36:12 | 显示全部楼层
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